ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ МНОГОМЕРНОЙ НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В СМЫСЛЕ МИЛЛЕРА - РОССА В КЛАССАХ СОБОЛЕВА
The paper proves the theorem of the existence and uniqueness of the solution of the problem in
Sobolev classes. The solution of the problem under consideration is constructed as the sum of a
series according to the system of eigenfunctions of a multidimensional spectral problem, for which
its eigenvalues are found as the roots of the transcendental equation and the corresponding system
of eigenfunctions is constructed. It is shown that this system of eigenfunctions is complete and forms
a Riesz basis in Sobolev spaces. Based on the completeness of the system of eigenfunctions, solutions
to the initial boundary value problem are obtained.
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. МГУ, М. 1999.
2. Коренев Б.Г. Вопросы расч¨ eта балок и плит на упругом основании. Наука, М. 1965.
3. K.B. Sabitov, and A.G. Khakimov. Determination of the Spectrum of Frequencies and Vibrations of a
Rectangular Plate, Mobily Employed Around the Edge, in Different Media // Mechanics of Solids, 2024,
Vol. 59, No. 6, pp. 3375-3389. https://doi.org/10.1134/S002565442460435X
4. K.B. Sabitov. Initial-boundary value problems for equation of oscillations of a rectangular plate // Russian
Mathematics. 2021. Vol. 65. No. 10. P. 52-62. https://doi.org/10.3103/S1066369X21100054.
5. K.B. Sabitov. Vibrations of plate with boundary "hinged attachment"conditions // Journal of Samara
State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2022. Vol. 26, No. 4. P. 650-671. [In
Russian]. https://doi.org/10.14498/vsgtu1950.
6. K.B. Sabitov. Plate oscillations with mixed boundary conditions // Russian Mathematics (Iz. VUZ). 2023.
No. 3. P. 63-77. [In Russian]. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2023-3-63-77.
7. K.B. Sabitov. Direct and inverse problems for the equation of oscillations of a rectangular plate to find
the source // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2023. Vol. 63. No. 4. P.
614-628. [In Russian]. https://doi.org/10.31857/S0044466923040142.
8. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-
мат. науки, 2015. Т. 19, №2. С. 311-324.
9. Сабитов К.Б. К теории начально–граничных задач для уравнения стержней и балок. // Дифферен-
циальные уравнения. 2017. Т. 53. №1, с. 89-100.
10. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки. // Дифференциальные уравнения.
2017. Т. 53. №5, С. 665-671.
11. Сабитов К.Б. Начально–граничные задачи для уравнения колебаний балки с уч¨ eтом е¨ e вращатель-
ного движения при изгибе // Дифференциальные уравнения, 2021, том 57, №3. С. 364-374.
12. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с дробными производными // Изв.
вузов. Матем., 2022, №9, С. 83-94. DOI: 10.26907/0021-3446-2022-9-83-94.
13. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II // Geophys. J. R.
Astr. Soc. 1967. Vol. 13. P. 529-539.
14. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New
York: Wiley & Sons, 1993.
15. O.A. Ilhan, Sh.G. Kasimov, Sh.Q. Otaev, H.M. Baskonus. On the Solvability of a Mixed Problem for a
High-Order Partial Differential Equation with Fractional Derivatives with Respect to Time, with Laplace
Operators with Spatial Variables and Nonlocal Boundary Conditions in Sobolev Classes // Mathematics
2019, 7, 235. №1. P. 1-20. Basel, Switzerland.
16. Касимов Ш.Г., Мадрахимов У.С. Начально-граничная задача для уравнения балки в многомерном
случае // Дифференциальные уравнения. 2019 г. Том 55, №10, с. 1379-1391.
17. Kasimov Sh.G., Ilhan O. A., Madraximov U.S., Baskonus H. M. Solvability of the mixed problem of a
high-order PDE with fractional time derivatives, Sturm-Liouville operators on spatial variables and non-
local boundary conditions // Rocky mountain journal of mathematics volume 49, number 4, 2019, pp.
1191-1206.
18. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Наука, М. 1969.
19. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Наука, М.
1965.
20. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных урав-
нений дробного порядка // Изв. АН Армянской ССР. 1968. Т. 3, вып. 1. С. 3-29.
21. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.
М. 1966.
22. Сабитов К.Б., Фадеева О.Б. Начально–граничная задача для уравнения вынужденных колебаний
консольной балки // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, №1. С. 51-66.
23. Касимов Ш.Г., Мадрахимов У.С., Кощанов А.П. Об однозначной разрешимости начально–граничной
задачи колебаний балки, один конец которой заделан, а другой плавающий, в классах Соболева в
многомерном случае // Бюллетень Института Математики, 2020, №3, стр. 119-136.
24. Chikriy A.A., Matichin I.I. Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the
sense of Riemann–Liouville, Caputo and Miller–Rossa // J. Autom. Inform. Sci. 2008. Vol. 40, no. 6. P.
1-11.
25. Sh.G. Kasimov, and A.P. Koshanov. On the unambiguous solvability of a multidimensional initial-
boundary value problem for the beam oscillation equation with nonlocal boundary conditions in Sobolev
classes // Lobachevskii Journal of Mathematics, 45, (11), 5546-5558 (2024).
Copyright (c) 2025 «ACTA NUUz»
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
.jpg)
1.png)
