SOLVING A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATION INVOLVING THE PRABHAKAR OPERATOR
В настоящей работе рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения с
частными производными первого порядка, включающего дробный оператор Прабхакара, в
правильной прямоугольной области. Изучается существование и единственность решения
данной задачи. Для построения решения применяется метод Римана. Формулируется вспо-
могательная задача относительно функции Римана. С использованием преобразования Лапла-
са вспомогательная задача сводится к задаче Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения. Затем, применяя обратное преобразование Лапласа, получена явная формула ре-
шения вспомогательной задачи, которая одновременно является функцией Римана исходной
задачи. На основе метода Римана получено решение исходной краевой задачи. Кроме того,
устанавливаются достаточные условия на заданные функции, при которых найденное решение
удовлетворяет условиям поставленной задачи.
1. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, and J. J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential
Equations, Elsevier, 2006.
2. F. Mainardi, Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity, Imperial College Press, 2010.
3. R. Metzler and J. Klafter, “The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics
approach,” Physics Reports, vol. 339, no. 1, pp. 1-77, 2000.
4. I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, 1999.
5. C. A. Monje et al., Fractional-order Systems and Controls: Fundamentals and Applications, Springer,
2010.
6. V. E. Tarasov, Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields
and Media, Springer, 2011.
7. S. G. Samko, A. A. Kilbas, and O. I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and
Applications, Gordon and Breach Science Publishers, 1993.
8. A.V. Pskhu, Solution of a Boundary Value Problem for a Fractional Partial Differential Equation.
Differential Equations 39, 1150-1158 (2003). https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000011289.79263.02
9. A.V. Pskhu, Boundary value problem for a first-order partial differential equation with
a fractional discretely distributed differentiation operator. Diff Equat 52, 1610-1623 (2016).
https://doi.org/10.1134/S0012266116120089
10. T. R. Prabhakar, “A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel,”
Yokohama Mathematical Journal, vol. 19, pp. 7-15, 1971.
11. A. Giusti, F. Mainardi, and C. Colombaro, “The Prabhakar or three-parameter Mittag-Leffler function:
theory and applications,” Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 23, no. 4, pp. 856-887, 2020.
12. F. Mainardi and R. Garrappa, “The Mittag-Leffler function and the Prabhakar function,” Journal of
Mathematical Analysis and Applications, vol. 426, no. 1, pp. 124-145, 2015.
13. Z. Raza, T. Muhammad, Z. Han, and M. Nawaz, “Influence of Newtonian heating and Brinkman type
nanofluid flow with Prabhakar fractional derivatives,” Fluids, vol. 6, no. 5, p. 265, 2022.
14. M. Asjad, S. Shehzad, and I. Khan, “Modeling anomalous heat and mass transfer in porous media via
Prabhakar fractional operators,” Thermal Science, vol. 25, Suppl. 2, pp. 509-518, 2021.
15. R. Garra, R. Gorenflo, F. Polito, Z. Tomovski. Hilfer-Prabhakar derivatives and some applications. Appl.
Math. Comput. 242, (2014), 576-589.
16. Turdiev Kh.N., Usmonov D.A. The Goursat’s problem for generalized (fractional) hyperbolic-type
equation. Uzbek Mathematical Journal, 2025, Volume 69, Issue 2, pp.300-306.
17. D’Ovidio, M., Polito, F. (2018). Fractional diffusion-telegraph equations and their associated stochastic
solutions. Theory Probab. Appl., 62(4), 552–574.
18. A.V. Pskhu, Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka. - Moskva: Nauka, 2005. - 200 s.
- ISBN 5-02-033721-8.
Copyright (c) 2025 «ВЕСТНИК НУУз»
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-ShareAlike» («Атрибуция — Некоммерческое использование — На тех же условиях») 4.0 Всемирная.
.jpg)
2.png)
