Начально-краевая задача с граничным условием третьего рода для дифференциального уравнения высокого четного порядка вырождающегося на границе
В данной работе сформулирована и исследована начально-краевая задача с граничным усло-
вием третьего рода для одного вырождающегося дифференциального уравнения в частных
производных высокого четного порядка в прямоугольнике. Применяя метод Фурье, основан-
ный на разделении переменных, получена спектральная задача для обыкновенного дифферен-
циального уравнения. Методом функции Грина спектральная задача эквивалентно сведена к
интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, откуда следует
существование собственных значений и система собственных функций спектральной задачи.
С использованием теоремы Мерсера доказана равномерная сходимость некоторых билинейных
рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов
Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных
функций спектральной задачи. Методом интегралов энергии доказана единственность решения
задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от
заданных функций.
1. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. – 711 с.
2. Франкль Ф. И. О баковом водозаборе из быстрых мелких рек// Труды Киргизского государствен-
ного университета. 1953, Т. 2, С. 33-45.
3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. – 628 с.
4. Маховер Е. В. Изгиб пластинки переменной толщины с острым краем// Ученые записки ЛГПИ им.
Герцена. 1957, №17, Вып. 2, С. 28-39.
5. Маховер Е. В. О спектре собственных частот пластинки с острым краем// Ученые записки ЛГПИ
им. Герцена. 1958, №197, С. 113-118.
6. Нахушев А. М. Уравнения математический биологии. М.: Высшая школа, 1995. – 301 c.
7. Байкузиев К. Б., Каланов Б. С. О разрешимости смешанной задачи для уравнения высшего по-
рядка, вырождающегося на границе области// В сборнике: Краевые задачи для дифференциальных
уравнений. Ташкент: Фан, 1972, №2, С. 40-54; 1973, №3, С. 65-73.
8. Байкузиев К. Б. Смешанная задача для одного уравнения высшего порядка, вырождающегося на
границе области// Дифференциальные уравнения, 1984, Том 20, №1, С. 7-14.
9. Urinov A. K. and Azizov M. S. On the Solvability of an Initial–Boundary Value Problem for a High
Even Order Partial Differential Equation Degenerating on the Domain Boundary// Journal of Applied
and Industrial Mathematics, 2023, Vol. 17, No. 2, pp. 414-426.
10. Irgashev B. Yu. Mixed problem for higher-order equations with fractional derivative and degeneration in
both variables// Ukrainian Mathematical Journal, 2023, Vol.74, No.10, March, pp. 1328-1338.
11. Irgashev B. Yu. Boundary value problem for a degenerate equation with a Riemann-Liouville operator//
Наносистемы: физика, химия, математика, 2023, Т. 14, Вып. 5, pp. 511-517.
12. Уринов А. К., Усмонов Д. А. Об одной задаче для уравнения смешанного типа четвертого порядка,
вырождающегося внутри и на границе области // Вестник Удмуртского университета. Математика.
Механика. Компьютерные науки. 2023, Т. 33, Вып. 2, С. 312-1328.
13. Уринов А. К., Орипов Д. Д. О разрешимости одной начально-граничной задачи для вырождающе-
гося уравнения высокого четного порядка, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2023,
№4, С. 621-644.
14. Азизов М. С. Начально-граничная задача для уравнения в частных производных высокого четного
порядка с оператором Бесселя в прямоугольнике, Научный вестник НамГУ, 2022, №10, С. 3-11.
15. Уринов А. К., Усмонов Д. А. Об одной задаче для уравнения смешанного типа четвертого порядка,
вырождающегося внутри и на границе области, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют.
науки, 2023, Т. 33, Вып 2, С. 312-328.
16. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
17. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 1959. 232 с.
18. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. I. М.: Наука, 1965. 294 с.
19. Орипов Д. Д. О корректности одной начально-граничной задачи для вырождающегося уравнения
в частных производных высокого четного порядка// NamDU Ilmiy axborotnomasi, 2024, №10, -С.
88-96.
20. Орипов Д. Д. Исследование одной начально-граничной задачи для вырождающегося уравнения в
частных производных высокого четного порядка// Bulletin of the Institute of Mathematics, 2024, Vol.
7, №5, pp. 105-116.
Copyright (c) 2025 «ВЕСТНИК НУУз»
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-ShareAlike» («Атрибуция — Некоммерческое использование — На тех же условиях») 4.0 Всемирная.
.jpg)
2.png)
