ОЦЕНКА ГЕССИАНОВ ОГРАНИЧЕННЫХ m-ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
С уважением посвящается 80-летнему юбилею Шавката Арифжановича Алимова и 70-летнему
юбилею Равшана Раджабовича Ашурова в знак признания их выдающегося вклада в науку и
образование.
Математиками Национального университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека и Хорезмско-
го отделения Института Математики имени В.И.Романовского, Академии Наук Республики
Узбекистан был разработан новый подход к изучению m-выпуклых (m − cv) функций, осно-
ванный на связях m − cv функций с m-субгармоническими (sh m ) функциями. Установленная
связь позволила определить Гессианы H k (u),k = 1,2,...,n − m + 1, как борелевские меры в
классе ограниченных m − cv функций. Были доказаны также ряд простых свойств этих мер.
В этой работе мы предлагаем дальнейшие, более тонкие свойства этих мер, в частности, уста-
новим оценку в среднем Гессианов H k (u),k = 1,2,...,n − m + 1, в классе ограниченных m − cv
функций.
1. Aleksandrov A.D., Intrinsic geometry of convex surfaces. OGIZ, Moscow, 1948; German transl., Akademie-
Verlag, Berlin, 1955.
2. Aleksandrov A.D., Konvexe Polyeder. Akademie-Verlag, Berlin 1958.
3. Bakelman I.J., Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg, 1994.
4. Bakelman I.J., Variational problems and elliptic Monge-Ampere equations. J. Differential Geometry, №
18, 1983, P. 669–999.
5. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е.. Введение в дифференциальную геометрию "В целом"М.:
Наука, 1973.
6. Blocki Z., Weak solutions to the complex Hessian equation. Ann.Inst. Fourier, Grenoble, V.5, 2005, P.
1735–1756.
7. Брело М., Основы классической теории потенциала. М., ИЛ, 1964.
8. Буземан Г., Выпуклые поверхности, “Наука”, 1964.
9. Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, Наука, М., 1969.
10. Позняк Э.Г., Примеры регулярных метрик на сфере и в круге, ненереализуемых в классе дважды
непрерывно дифференцируемых поверхностей, Вестник МГУ, сер. матем., 2, 1960, C. 3-5.
11. Садуллаев А., Абдуллаев Б., Теория потенциалов в классе cубгармонических функций. Труды Ма-
тематического Института имени В.А. Стеклова, N 279, 2012, C. 166-192.
12. Caffarelly L., Nirenberg L., Spruck J., Functions of the eigenvalues of the Hessian. Acta Math. 155, 1985,
C.261-301.
13. Chou K.S., Wang X.J., Variational theoryfor Hessian equations. Comm. Pure Appl. Math., 54, 2001, P.
1029-1064.
14. Dinew S., Kolodziej S., A priori estimates for the complex Hessian equation. Anal. PDE, V.7, 2014, P.
227-244.
15. Dinew S., Kolodziej S., Non standard properties of m-subahrmonic functions. Dolom. Res. Not. Approx.
11, 2018, P. 35-50.
16. Ivochkina N.M., Trudinger N.S., Wang X.J., The Dirichlet problem for degenerate Hessian equations.
Comm. Partial Difi. Eqns 29, 2004, P. 219-235.
17. Li S.Y., On the Dirichlet problems for symmetric function equations of the eigenvalues of the complex
Hessian. Asian J.Math., V.8, 2004, P. 87-106.
18. Lu C.H. A variational approach to complex Hessian equations in . Journal of Mathematical Analysis and
Applications. V. 431:1, 2015, P. 228-259.
19. Lu H.Ch. Solutions to degenerate Hessian equations. Jurnal de Mathematique Pures et Appliques. V.
100:6, 2013, P. 785-805.
20. Trudinger N.S. and Wang X. J., Hessian measures I. Topol. Methods Non linear Anal. V.19. 1997, P.
225-239.
21. Trudinger N.S. and Wang X. J., Hessian measures II. Ann. Math. V.150 ,1999, P. 1-23.
22. Trudinger N.S. and Wang X. J., Hessian measures III. Ann. Math. V.150, 2002, P. 579-604.
Copyright (c) 2025 «ВЕСТНИК НУУз»
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-ShareAlike» («Атрибуция — Некоммерческое использование — На тех же условиях») 4.0 Всемирная.
.jpg)
2.png)
