ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА
Загрузки
В работе исследуется дифференциально-геометрическая структура многообразия Грассмана
Gr(k,n), состоящего из всех k-мерных линейных подпространств в n-мерном вещественном
векторном пространстве. Основное внимание уделено явному построению атласа гладких карт
и анализу свойств функций перехода между ними.
Доказано, что для произвольного набора индексов I = {i 1 < ··· < i k } соответствующее ко-
ординатное отображение φ I : U I → R k(n−k) является гомеоморфизмом, где U I – открытое
подмножество в Gr(k,n). Установлена гладкость (бесконечная дифференцируемость) функций
перехода ψ IJ = φ J ◦ φ −1
I
на пересечениях карт.
На примере многообразия Gr(2,4) проведены детальные вычисления, демонстрирующие яв-
ный вид функций перехода между различными координатными картами. Показано, что эти
функции выражаются в виде рациональных отображений с ненулевыми знаменателями, что
гарантирует их корректность и гладкость.
Полученные результаты имеют важное значение для приложений в дифференциальной геомет-
рии, алгебраической топологии и математической физике, где многообразия Грассмана играют
ключевую роль.
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977. 512 с.
2. Бураго Ю.Д., Залгалдин В.А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука, 1994. 318 с.
3. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977. 488 с.
4. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир.
5. Gopal A., Cogyan A., Ergen E. Topological Manifolds. 2008. 512 p.
6. Шарафутдинов В.А. Введение в дифференциальную топологию и риманову геометрию. Новоси-
бирск: Учебное пособие, 2018.
7. Lee J.M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer, 2003.
8. Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Differential Geometry, Vol. I-II. Wiley Classics Library, 1996.
9. Быков В.М. Тензорные поля на многообразиях. М.: МГУ, 1982. 128 с.
Copyright (c) 2025 «ВЕСТНИК НУУз»
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-ShareAlike» («Атрибуция — Некоммерческое использование — На тех же условиях») 4.0 Всемирная.
.jpg)
2.png)
