ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА

Ushbu ishda Grassmann ko’pxilligi Gr(k,n) ning differensial-geometrik tuzilmasi o’rganiladi. Bu
ko’pxillik R n da barcha k-o’lchamli chiziqli qismfazolar majmuasidan iborat. Asosiy e’tibor silliq
kartalar atlasini aniq qurishga va ular orasidagi o’tish funksiyalarining xossalarini tahlil qilishga
qaratilgan.
Ixtiyoriy indekslar to’plami I = {i 1 < ··· < i k } uchun mos koordinata akslantirishlari ϕ I : U I →
R k(n−k) gomeomorfizm ekani isbotlangan, bu yerda U I → Gr(k,n) dagi ochiq to’plamdir. Xaritalar
kesishmalarida o’tish funksiyasi ψ IJ = ϕ J ◦ ϕ −1
I
ning silliqligi (cheksiz differentiallanadiganligi)
isbotlangan.
Gr(2,4) ko’pxilligi misolida turli koordinata akslantirishlari orasidagi o’tish funksiyalarining
aniq ko’rinishi hisoblab chiqilgan. Bu funksiyalar noldan farqli maxrajli ratsional akslantirishlar
ko’rinishida ifodalanishi ko’rsatilgan, bu esa ularning to’g’riligi va silliqligini kafolatlaydi.
Olingan natijalar differensial geometriya, algebraik topologiya va matematik fizika sohalarida
qo’llanilishi uchun muhim ahamiyatga ega bo’lib, Grassmann ko’pxilligi bu sohalarda asosiy rol
o’ynaydi.