ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН С ДРОБНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ МИЛЛЕРА–РОССА, В СЛУЧАЕ С ЗАДЕЛАННЫМИ И СВОБОДНО ЗАКРЕПЛЕННЫМИ УСЛОВИЯМИ В КЛАССАХ СОБОЛЕВА
В работе доказана теорема существования и единственности решения задачи колебаний пла-
стин с дробными операторами Миллера–Росса, в случае с заделанными и свободно закреп-
ленными условиями в классах Соболева. Решение рассматриваемой задачи построено в виде
суммы ряда по системе собственных функций многомерной спектральной задачи, для которой
найдены е¨ e собственные значения как корни трансцендентного уравнения и построена соот-
ветствующая система собственных функций. Показано, что эта система собственных функций
является полной и образует базис Рисса в пространствах Соболева. На основании полноты си-
стемы собственных функций получена решения поставленной начально–граничной задачи.
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. МГУ, М. 1999.
2. Коренев Б.Г. Вопросы расч¨ eта балок и плит на упругом основании. Наука, М. 1965.
3. K.B. Sabitov, and A.G. Khakimov. Determination of the Spectrum of Frequencies and Vibrations of a
Rectangular Plate, Mobily Employed Around the Edge, in Different Media // Mechanics of Solids, 2024,
Vol. 59, No. 6, pp. 3375-3389. https://doi.org/10.1134/S002565442460435X
4. K.B. Sabitov. Initial-boundary value problems for equation of oscillations of a rectangular plate // Russian
Mathematics. 2021. Vol. 65. No. 10. P. 52-62. https://doi.org/10.3103/S1066369X21100054.
5. K.B. Sabitov. Vibrations of plate with boundary "hinged attachment"conditions // Journal of Samara
State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2022. Vol. 26, No. 4. P. 650-671. [In
Russian]. https://doi.org/10.14498/vsgtu1950.
6. K.B. Sabitov. Plate oscillations with mixed boundary conditions // Russian Mathematics (Iz. VUZ). 2023.
No. 3. P. 63-77. [In Russian]. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2023-3-63-77.
7. K.B. Sabitov. Direct and inverse problems for the equation of oscillations of a rectangular plate to find
the source // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2023. Vol. 63. No. 4. P.
614-628. [In Russian]. https://doi.org/10.31857/S0044466923040142.
8. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-
мат. науки, 2015. Т. 19, №2. С. 311-324.
9. Сабитов К.Б. К теории начально–граничных задач для уравнения стержней и балок. // Дифферен-
циальные уравнения. 2017. Т. 53. №1, с. 89-100.
10. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки. // Дифференциальные уравнения.
2017. Т. 53. №5, С. 665-671.
11. Сабитов К.Б. Начально–граничные задачи для уравнения колебаний балки с уч¨ eтом е¨ e вращатель-
ного движения при изгибе // Дифференциальные уравнения, 2021, том 57, №3. С. 364-374.
12. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с дробными производными // Изв.
вузов. Матем., 2022, №9, С. 83-94. DOI: 10.26907/0021-3446-2022-9-83-94.
13. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II // Geophys. J. R.
Astr. Soc. 1967. Vol. 13. P. 529-539.
14. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New
York: Wiley & Sons, 1993.
15. O.A. Ilhan, Sh.G. Kasimov, Sh.Q. Otaev, H.M. Baskonus. On the Solvability of a Mixed Problem for a
High-Order Partial Differential Equation with Fractional Derivatives with Respect to Time, with Laplace
Operators with Spatial Variables and Nonlocal Boundary Conditions in Sobolev Classes // Mathematics
2019, 7, 235. №1. P. 1-20. Basel, Switzerland.
16. Касимов Ш.Г., Мадрахимов У.С. Начально-граничная задача для уравнения балки в многомерном
случае // Дифференциальные уравнения. 2019 г. Том 55, №10, с. 1379-1391.
17. Kasimov Sh.G., Ilhan O. A., Madraximov U.S., Baskonus H. M. Solvability of the mixed problem of a
high-order PDE with fractional time derivatives, Sturm-Liouville operators on spatial variables and non-
local boundary conditions // Rocky mountain journal of mathematics volume 49, number 4, 2019, pp.
1191-1206.
18. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Наука, М. 1969.
19. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Наука, М.
1965.
20. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных урав-
нений дробного порядка // Изв. АН Армянской ССР. 1968. Т. 3, вып. 1. С. 3-29.
21. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.
М. 1966.
22. Сабитов К.Б., Фадеева О.Б. Начально–граничная задача для уравнения вынужденных колебаний
консольной балки // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, №1. С. 51-66.
23. Kasimov Sh.G., Madrakhimov U.S. On the unique solvability for initial-boundary problems of vibrations
of a beam, one end of which is fixed and other is free, in the Sobolev classes in the multidimensional case
// Uzbek mathematical jurnal, 2019, №4, pp. 92-106.
24. Chikriy A.A., Matichin I.I. Presentation of solutions of linear systems with fractional derivatives in the
sense of Riemann–Liouville, Caputo and Miller–Rossa // J. Autom. Inform. Sci. 2008. Vol. 40, no. 6. P.
1-11.
25. Sh.G. Kasimov, and A.P. Koshanov. On the unambiguous solvability of a multidimensional initial-
boundary value problem for the beam oscillation equation with nonlocal boundary conditions in Sobolev
classes // Lobachevskii Journal of Mathematics, 45, (11), 5546-5558 (2024)
Copyright (c) 2025 «ВЕСТНИК НУУз»
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-ShareAlike» («Атрибуция — Некоммерческое использование — На тех же условиях») 4.0 Всемирная.
.jpg)
2.png)
