НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА τ-ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ

В данной статье исследуются некоторые свойства пространства τ-замкнутых подмножеств то-
пологических T 1 -пространств X. На семействе τ-замкнутых подмножеств вводится база ана-
логичная топологии Виеториса. Доказывается, что если X есть T 1 -пространство и X 0 ⊂ X, то
множество {F : F ∈ exp τ X, X 0 ⊂ F} замкнуто в пространстве exp τ X. Также доказывается,
что если X есть T 1 -пространство, то и пространство exp τ X есть T 1 -пространство. Показано,
что если Y есть всюду τ-плотное подмножество T 1 -пространства X, то exp τ Y является всю-
ду плотным подмножеством пространства exp τ X. Аналогично, что если exp τ Y всюду плотно
лежит в пространстве exp τ X, то показано, что пространство Y всюду τ-плотно в X. Дока-
зывается аналог теоремы Майкла для плотности T 1 -пространства, т.е., пусть X - бесконечное
T 1 -пространство, то d τ (X) ≤ d τ (exp τ X). Показано, что если X - бесконечное T 1 -пространство и
U есть τ-открытое подмножество, тогда всякое τ-открытое подмножество в U есть τ-открытое
подмножество в X.