Численное решение нестационарной задачи оптимального размещения источников тепла с минимальной мощностью
Данная работа посвящена численному решению нестационарной задачи оптимального разме-
щения источников тепла минимальной мощности. Постановка задачи требует одновременного
выполнения двух условий. Первое условие - обеспечить нахождение температуры в пределе
минимальных и максимальных температур за счет оптимального размещения источников теп-
ла с минимальной мощностью в прямоугольнике. Второе условие заключается в том, чтобы
суммарная мощность источников тепла, используемых для обогрева, была минимальной. Эта
задача изучалась в стационарных условиях в работах других учёных. Однако в нестационар-
ном случае задача не рассматривалось. Поскольку найти непрерывное решение краевой задачи
сложно, то ищем численное решение задачи. Трудно найти интегральный оператор с непрерыв-
ным ядром (функция Грина). Найдено численное значение функции Грина в виде матрицы.
Предложен новый алгоритм численного решения ностационарной задачи оптимального управ-
ления размещением источников тепла с минимальной мощностью в процессах, описываемых
дифференциальными уравнениями с частными производными параболического типа. Предло-
жена новая методика численного решения. Построена математическая и численная модель про-
цессов, описываемых уравнением конвекции-диффузии, заданным для первой краевой задачи.
Краевая задача изучается для двумерного случая. Для численного решения задачи исполь-
зовалась неявная конечно-разностная схема. По этой схеме была создана система разностных
уравнений. Сформированная система разностных уравнений приведена к задаче линейного
программирования. Задача линейного программирования решается с помощью М-метода. При
каждом значении времени решается задача линейного программирования. Предложен новый
подход к численному решению задач. Приведена общая блок-схема алгоритма решения неста-
ционарной задачи оптимального управления размещением источников тепла с минимальной
мощностью. Разработан алгоритм и программное обеспечение для численного решения задачи.
Приведено краткое описание программного обеспечения. На конкретных примерах показано,
что численное решение краевой задачи находится в заданных пределах, сумма оптимально
размещенных источников тепла с минимальной мощностью дает минимум функционалу. Ви-
зуализированы результаты вычислительного эксперимента.
1. Ахметзянов А. В., Кулибанов В. Н. Задача оптимального выбора координат доразбуривания добы-
вающих скважин на нефтяных месторождениях. Автоматика и телемеханика, 2002, № 11. С. 3–12.
2. Мирская С. Ю., Сидельников В. И. Экономичный обогрев помещения как задача оптимального
управления. Технико-технологические проблемы сервиса, 2014, № 4(30). С. 75–78.
3. Сабденов К. О., Байтасов Т. М. Оптимальное (энергоэффективное) теплоснабжение здания в си-
стеме центрального отопления. Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг
георесурсов, 2015, Т. 326, № 8. С. 53–60.
4. Исламов Г.Г., Коган Ю. В. Дифференциально-разностная задача управления процессом диффузии.
Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2008, вып. 1.
С. 121–126.
5. Егоров А. И., Знаменская Л. Н. Об управлении процессом теплопроводностис квадратичным функ-
ционалом качества. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2017, Т. 57,
№ 12. С. 2053–2064.
6. Хайиткулов Б. Х. Конечно-разностный метод решения нестационарных задач управления
конвекцией-диффузией. Вестник Томского государственного университета. Управление, вычисли-
тельная техника и информатика, 2021, № 57. С. 45–52.
7. Khaitkulov B. Kh. Homogeneous different schemes of the problem for optimum selection of the location
of heat sources in a rectangular body. Solid State Technology, 2020, vol. 63, no 17. P. 583–592.
8. Хайиткулов Б. Х. Консервативные разностные схемы по оптимальному выбору местоположения
источников тепла в стержне. Математическое моделирование и численные методы, 2020, № 3. С. 85–
98.
9. Тухтасинов М. Т., Абдуолимова Г. М., Хайиткулов Б. Х. Граничное управление распространением
тепла в ограниченном теле. Бюллетень Института математики, 2019, № 1. С. 1–10.
10. Лебо И. Г., Симаков А. И. Решение уравнения конвекция-диффузия для моделирования теплопере-
дачи в высокотемпературных газах и плазме. Вестник МГТУ МИРЭА, 2014, № 3(4). С. 195–205.
11. Вабищевич П. Н., Самарский А. А. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-
диффузии. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998, Т. 38, № 2. С. 207–
219.
12. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии.
Москва : ЛИБРОКОМ, 2015. 248 с.
13. Вабищевич П. Н., Васильева М. В. Явно-неявные схемы для задач конвекции-диффузии-реакции.
Сибирский журнал вычислительной математики, 2012, Т. 15, № 4. С. 359–369.
14. Dantzig G. B. Linear programming and extensions. Princeton : Princeton University Press, 2016. 656 p.
15. Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: учебник. – 3-е изд.
Москва : Финансы и статистика, 2009. 640 с.
Copyright (c) 2025 «ВЕСТНИК НУУз»
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-ShareAlike» («Атрибуция — Некоммерческое использование — На тех же условиях») 4.0 Всемирная.
.jpg)
2.png)
